(1+微小量)の無限積

主張

$f(x)$ が普通の関数のとき

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right) = \exp{\left(\int_0^1 f(t)dt\right)}$

"普通の関数"とは、 $0 < x \leq 1$ で定義でき、極がなく、無限に振動したりしない関数のことである。微分可能である必要はない。

証明

次の不等式を使う。

$\displaystyle |x|\ll 1 \Rightarrow x-x^2 \leq \ln(1+x) \leq x$

右側は特に問題はないのだが、左側に関しては $x\approx -0.683$ より小さいと成り立たないがここでは十分に0に近い $x$ で使うので問題はない。

$L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right)$ とおくと

$\displaystyle \ln(L)=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n\, \ln\left(1+\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right)$

$x=\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ とすると $n\to\infty$ で $|x|\ll 1$ だから、先ほどの不等式が使えて

$\displaystyle \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right) - \frac{1}{n^2}\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right)^2 \leq \ \ln\left(1+\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right) \leq \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$

それぞれ $k=1$ から $n$ まで足し合わせて

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right) - \sum_{k=1}^n\frac{1}{n^2}\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right)^2 \leq \sum_{k=1}^n\, \ln\left(1+\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right) \leq \sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$

高校で習う区分求積法の考えにより

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1f(t)dt \,,$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{n^2}\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right)^2= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right)^2=0 \cdot \int_0^1\left(f(t)\right)^2dt=0$
なので

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \ln(L) = \int_0^1 f(x)dx \\ \displaystyle\therefore L=\exp\left(\int_0^1 f(t)dt\right)$

$f(x)$ が普通の関数だといったのは区分求積法を考えるとき不都合が起きないようにするためであった。

使用例

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left ( 1+\cfrac{1}{n^2} \right )\left ( 1+\cfrac{2}{n^2} \right )\left ( 1+\cfrac{3}{n^2} \right ) \cdots\left ( 1+\cfrac{n}{n^2} \right )=\sqrt{e}$