n階導関数を極限で表す

主張

関数 $f(x)$ のn階導関数(n≥1)は，
$\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h^{n}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}f(x+(n-k)h) \tag{1}$
と表される．

証明

nに関する数学的帰納法で示す．

$n=1$ のとき，式(1)は

$\displaystyle \frac{d}{dx} f(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

となり成立．nのとき成立するとして，n+1階微分を考えると，

$\displaystyle \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}f(x)=\lim_{h^\prime \to 0}\frac{f^{(n)}(x+h^\prime) - f^{(n)}(x) }{h^\prime}$

ここで帰納法の仮定を利用して，

$\displaystyle \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}f(x)=\lim_{h^\prime \to 0}\lim_{h\to 0}\frac{1}{h^\prime}\frac{1}{h^n}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}f(x+h^\prime+(n-k)h) \\\displaystyle -\frac{1}{h^\prime}\frac{1}{h^n}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}f(x+(n-k)h)$

これは2変数関数の2重極限の表式であり，本来はこの極限が存在するかどうかも調べなければならないのだが，この極限が存在するとすればどういった式になるかということを考えたいので，何も考えず2変数をくっつけてしまう． $h^\prime=h$ として，一変数の極限にしてしまう．

$\displaystyle \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}f(x+(n+1-k)h) \\\displaystyle -\frac{1}{h^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}f(x+(n-k)h) \tag{2}$

式(2)の，2番目の総和において，インデックスを $k\to k-1$ と変更する．

$\displaystyle \begin{equation} -\frac{1}{h^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}f(x+(n-k)h)\\ = -\frac{1}{h^{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1} \binom{n}{k-1}f(x+(n-(k-1))h) \\ = +\frac{1}{h^{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k} \binom{n}{k-1}f(x+(n+1-k)h) \end{equation}$

こうすることで式(2)の1番目の総和と足し合わせることができる．二項係数の性質 $\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}$ を用いて，式(2)を変形すると，

$\displaystyle\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h^{n+1}}\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k\binom{n+1}{k}f(x+(n+1-k)h)$

が得られる． $k=0,n+1$ のときは足せないが，この総和に組み込めることは簡単に確認できる．

α階微分？

$m>n$ のときは $\binom{n}{m}=0$ であるので，上記の主張は有限和を無限和に変えた

関数 $f(x)$ のn階導関数(n≥1)は，
$\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h^{n}}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\binom{n}{k}f(x+(n-k)h)$
と表される．

と書き換えられる．さらにnが自然数という制約も取っ払ってしまい，

関数 $f(x)$ のα階導関数は，
$\displaystyle\frac{d^\alpha}{dx^\alpha}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h^{\alpha}}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{\Gamma(\alpha +1)}{k!\, \Gamma(\alpha-k+1)}f(x+(\alpha-k)h)$
と表される．

とするのが自然な拡張だと考えれば，たとえば1/2階微分は

$\displaystyle \begin{align} \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}f(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{h}}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{\Gamma(3/2)}{k!\, \Gamma(3/2-k)}f(x+(1/2-k)h) \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{-1}{\sqrt{h}}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-3)!!}{2^k k!}f \left(x+\frac{1-2k}{2}h \right) \end{align}$
という風に表せ，非自然数階微分を与えることができる． $\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}\left( \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}f(x) \right)= \frac{d}{dx}f(x)$ であることを示すのは，本記事ではしない．
また，-n階微分(n階積分)を考えると

$\displaystyle \frac{d^{-n}}{dx^{-n}} f(x) = \lim_{h\to 0} h^{n}\sum_{k=0}^{N}\frac{\left(n+k-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}f\left(x-\left(n+k\right)h\right)$

が言える．しかし，成り立つ $x$ の範囲や，関数には制限があるようだ．(未検証)