四角形に内接する長方形を描く

問題

四角形ABCDに内接し，直線mと平行な辺を有する長方形を作図せよ．

解法 

• Aを通りmに平行な直線xと垂直な直線yを引く．
• xとCDとの交点をCxとする．Cxを通りyに平行な直線を引き，BCとの交点をEとする．
• Bを通りyに平行な直線を引く．その際，その線と交わるように適宜AD,CDを延長する．これとxとの交点をBxとする．

• 前で引いた直線とAD,CDとの交点を通るxに平行な直線を引く．それらの線とyとの交点をそれぞれX0,X1とする． 

• CxEの長さを取り，Aからの距離がその長さである点Fをx上に置く．右でも左でもよいが，以後点を置く側は統一する必要がある．
• BxBの長さを取り，X0,X1からの距離がその長さである点G,Hをそれぞれ取る．
• FHとAGが交わる点を通り，xと平行な直線が，求める四角形の一辺となる．

からくり

これらの操作は，xを基線とし，立面図がAB，平面図がADの直線と，立面図がBC，平面図がDCの直線両方と交わる，投象軸と平行な直線を求める操作である．yは副基線になっており，真横から見て交わる点を求めているのである．そう考えればこの長方形が一意に存在することもわかる．

このように平面図形の問題を立体に起こして考えるのは面白い．